Solucionar sqrt{2y+7}=4-y

$$\sqrt { 2 y + 7 } = 4 - y$$

Resolver para y

$$y=1$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2y+7}\right)^{2}=\left(4-y\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2y+7} a la potencia de 2 y obtiene 2y+7.

$$2y+7=\left(4-y\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4-y\right)^{2}.

$$2y+7=16-8y+y^{2}$$

Resta 16 en los dos lados.

$$2y+7-16=-8y+y^{2}$$

Resta 16 de 7 para obtener -9.

$$2y-9=-8y+y^{2}$$

Agrega 8y a ambos lados.

$$2y-9+8y=y^{2}$$

Combina 2y y 8y para obtener 10y.

$$10y-9=y^{2}$$

Resta y^{2} en los dos lados.

$$10y-9-y^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-y^{2}+10y-9=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -y^{2}+ay+by-9. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=10 ab=-\left(-9\right)=9$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 9.

$$1,9 3,3$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+9=10 3+3=6$$

La solución es el par que proporciona suma 10.

$$a=9 b=1$$

Vuelva a escribir -y^{2}+10y-9 como \left(-y^{2}+9y\right)+\left(y-9\right).

$$\left(-y^{2}+9y\right)+\left(y-9\right)$$

Simplifica -y en -y^{2}+9y.

$$-y\left(y-9\right)+y-9$$

Simplifica el término común y-9 con la propiedad distributiva.

$$\left(y-9\right)\left(-y+1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva y-9=0 y -y+1=0.

$$y=9 y=1$$

Sustituya 9 por y en la ecuación \sqrt{2y+7}=4-y.

$$\sqrt{2\times 9+7}=4-9$$

Simplifica. El valor y=9 no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$5=-5$$

Sustituya 1 por y en la ecuación \sqrt{2y+7}=4-y.

$$\sqrt{2\times 1+7}=4-1$$

Simplifica. El valor y=1 satisface la ecuación.

$$3=3$$

La ecuación \sqrt{2y+7}=4-y tiene una solución única.

$$y=1$$