Solucionar sqrt{2x-1}-2=sqrt{x-4}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - 2 = \sqrt { x - 4 }$$

Resolver para x

$$x=13$$

$$x=5$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} a la potencia de 2 y obtiene 2x-1.

$$2x-1-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Suma -1 y 4 para obtener 3.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-4} a la potencia de 2 y obtiene x-4.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=x-4$$

Resta 2x+3 en los dos lados de la ecuación.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-\left(2x+3\right)$$

Para calcular el opuesto de 2x+3, calcule el opuesto de cada término.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-2x-3$$

Combina x y -2x para obtener -x.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-4-3$$

Resta 3 de -4 para obtener -7.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-7$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Expande \left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Calcula -4 a la potencia de 2 y obtiene 16.

$$16\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} a la potencia de 2 y obtiene 2x-1.

$$16\left(2x-1\right)=\left(-x-7\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 16 por 2x-1.

$$32x-16=\left(-x-7\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-x-7\right)^{2}.

$$32x-16=x^{2}+14x+49$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$32x-16-x^{2}=14x+49$$

Resta 14x en los dos lados.

$$32x-16-x^{2}-14x=49$$

Combina 32x y -14x para obtener 18x.

$$18x-16-x^{2}=49$$

Resta 49 en los dos lados.

$$18x-16-x^{2}-49=0$$

Resta 49 de -16 para obtener -65.

$$18x-65-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}+18x-65=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx-65. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=18 ab=-\left(-65\right)=65$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 65.

$$1,65 5,13$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+65=66 5+13=18$$

La solución es el par que proporciona suma 18.

$$a=13 b=5$$

Vuelva a escribir -x^{2}+18x-65 como \left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right)$$

Factoriza -x en el primero y 5 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-13\right)+5\left(x-13\right)$$

Simplifica el término común x-13 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-13\right)\left(-x+5\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-13=0 y -x+5=0.

$$x=13 x=5$$

Sustituya 13 por x en la ecuación \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 13-1}-2=\sqrt{13-4}$$

Simplifica. El valor x=13 satisface la ecuación.

$$3=3$$

Sustituya 5 por x en la ecuación \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-2=\sqrt{5-4}$$

Simplifica. El valor x=5 satisface la ecuación.

$$1=1$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$x=13 x=5$$