Solucionar sqrt{2x-1}-sqrt{x-1}=sqrt{6-x}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 6 - x }$$

Resolver para x

$$x=5$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} a la potencia de 2 y obtiene 2x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-1} a la potencia de 2 y obtiene x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Combina 2x y x para obtener 3x.

$$3x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Resta 1 de -1 para obtener -2.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{6-x} a la potencia de 2 y obtiene 6-x.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x$$

Resta 3x-2 en los dos lados de la ecuación.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-\left(3x-2\right)$$

Para calcular el opuesto de 3x-2, calcule el opuesto de cada término.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-3x+2$$

Combina -x y -3x para obtener -4x.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-4x+2$$

Suma 6 y 2 para obtener 8.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=8-4x$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Calcula -2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} a la potencia de 2 y obtiene 2x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-1} a la potencia de 2 y obtiene x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 2x-1.

$$\left(8x-4\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Aplicar la propiedad distributiva multiplicando cada término de 8x-4 por cada término de x-1.

$$8x^{2}-8x-4x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Combina -8x y -4x para obtener -12x.

$$8x^{2}-12x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(8-4x\right)^{2}.

$$8x^{2}-12x+4=64-64x+16x^{2}$$

Resta 64 en los dos lados.

$$8x^{2}-12x+4-64=-64x+16x^{2}$$

Resta 64 de 4 para obtener -60.

$$8x^{2}-12x-60=-64x+16x^{2}$$

Agrega 64x a ambos lados.

$$8x^{2}-12x-60+64x=16x^{2}$$

Combina -12x y 64x para obtener 52x.

$$8x^{2}+52x-60=16x^{2}$$

Resta 16x^{2} en los dos lados.

$$8x^{2}+52x-60-16x^{2}=0$$

Combina 8x^{2} y -16x^{2} para obtener -8x^{2}.

$$-8x^{2}+52x-60=0$$

Divide los dos lados por 4.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -2x^{2}+ax+bx-15. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La solución es el par que proporciona suma 13.

$$a=10 b=3$$

Vuelva a escribir -2x^{2}+13x-15 como \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Factoriza 2x en el primero y -3 en el segundo grupo.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Simplifica el término común -x+5 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x+5=0 y 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Sustituya 5 por x en la ecuación \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Simplifica. El valor x=5 satisface la ecuación.

$$1=1$$

Sustituya \frac{3}{2} por x en la ecuación \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times \frac{3}{2}-1}-\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\sqrt{6-\frac{3}{2}}$$

Simplifica. El valor x=\frac{3}{2} no satisface la ecuación.

$$\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya 5 por x en la ecuación \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Simplifica. El valor x=5 satisface la ecuación.

$$1=1$$

La ecuación \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} tiene una solución única.

$$x=5$$