Solucionar sqrt{2x-1}+sqrt{3x+1}=7

$$\sqrt { 2 x - 1 } + \sqrt { 3 x + 1 } = 7$$

Resolver para x

$$x=5$$

Pasos de la solución

Resta \sqrt{3x+1} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{2x-1}=7-\sqrt{3x+1}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(7-\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} a la potencia de 2 y obtiene 2x-1.

$$2x-1=\left(7-\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(7-\sqrt{3x+1}\right)^{2}.

$$2x-1=49-14\sqrt{3x+1}+\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x+1} a la potencia de 2 y obtiene 3x+1.

$$2x-1=49-14\sqrt{3x+1}+3x+1$$

Suma 49 y 1 para obtener 50.

$$2x-1=50-14\sqrt{3x+1}+3x$$

Resta 50+3x en los dos lados de la ecuación.

$$2x-1-\left(50+3x\right)=-14\sqrt{3x+1}$$

Para calcular el opuesto de 50+3x, calcule el opuesto de cada término.

$$2x-1-50-3x=-14\sqrt{3x+1}$$

Resta 50 de -1 para obtener -51.

$$2x-51-3x=-14\sqrt{3x+1}$$

Combina 2x y -3x para obtener -x.

$$-x-51=-14\sqrt{3x+1}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-x-51\right)^{2}=\left(-14\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-x-51\right)^{2}.

$$x^{2}+102x+2601=\left(-14\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Expande \left(-14\sqrt{3x+1}\right)^{2}.

$$x^{2}+102x+2601=\left(-14\right)^{2}\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Calcula -14 a la potencia de 2 y obtiene 196.

$$x^{2}+102x+2601=196\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x+1} a la potencia de 2 y obtiene 3x+1.

$$x^{2}+102x+2601=196\left(3x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 196 por 3x+1.

$$x^{2}+102x+2601=588x+196$$

Resta 588x en los dos lados.

$$x^{2}+102x+2601-588x=196$$

Combina 102x y -588x para obtener -486x.

$$x^{2}-486x+2601=196$$

Resta 196 en los dos lados.

$$x^{2}-486x+2601-196=0$$

Resta 196 de 2601 para obtener 2405.

$$x^{2}-486x+2405=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 1 por a, -486 por b y 2405 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{\left(-486\right)^{2}-4\times 2405}}{2}$$

Obtiene el cuadrado de -486.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{236196-4\times 2405}}{2}$$

Multiplica -4 por 2405.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{236196-9620}}{2}$$

Suma 236196 y -9620.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{226576}}{2}$$

Toma la raíz cuadrada de 226576.

$$x=\frac{-\left(-486\right)±476}{2}$$

El opuesto de -486 es 486.

$$x=\frac{486±476}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{486±476}{2} dónde ± es más. Suma 486 y 476.

$$x=\frac{962}{2}$$

Divide 962 por 2.

$$x=481$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{486±476}{2} dónde ± es menos. Resta 476 de 486.

$$x=\frac{10}{2}$$

Divide 10 por 2.

$$x=5$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=481 x=5$$

Sustituya 481 por x en la ecuación \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=7.

$$\sqrt{2\times 481-1}+\sqrt{3\times 481+1}=7$$

Simplifica. El valor x=481 no satisface la ecuación.

$$69=7$$

Sustituya 5 por x en la ecuación \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=7.

$$\sqrt{2\times 5-1}+\sqrt{3\times 5+1}=7$$

Simplifica. El valor x=5 satisface la ecuación.

$$7=7$$

La ecuación \sqrt{2x-1}=-\sqrt{3x+1}+7 tiene una solución única.

$$x=5$$