Solucionar sqrt{2x+7}-3x+1=x-1

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

Resolver para x

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1,272363543$$

Pasos de la solución

Resta -3x+1 en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

Para calcular el opuesto de -3x+1, calcule el opuesto de cada término.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

El opuesto de -3x es 3x.

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

Combina x y 3x para obtener 4x.

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

Resta 1 de -1 para obtener -2.

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+7} a la potencia de 2 y obtiene 2x+7.

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4x-2\right)^{2}.

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

Resta 16x^{2} en los dos lados.

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

Agrega 16x a ambos lados.

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

Combina 2x y 16x para obtener 18x.

$$18x+7-16x^{2}=4$$

Resta 4 en los dos lados.

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

Resta 4 de 7 para obtener 3.

$$18x+3-16x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -16 por a, 18 por b y 3 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica -4 por -16.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 64 por 3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

Suma 324 y 192.

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 516.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 2 por -16.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} dónde ± es más. Suma -18 y 2\sqrt{129}.

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Divide -18+2\sqrt{129} por -32.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} dónde ± es menos. Resta 2\sqrt{129} de -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Divide -18-2\sqrt{129} por -32.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Sustituya \frac{9-\sqrt{129}}{16} por x en la ecuación \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

Simplifica. El valor x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya \frac{\sqrt{129}+9}{16} por x en la ecuación \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

Simplifica. El valor x=\frac{\sqrt{129}+9}{16} satisface la ecuación.

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

La ecuación \sqrt{2x+7}=4x-2 tiene una solución única.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$