Solucionar sqrt{2x+13}-3x=9

$$\sqrt { 2 x + 13 } - 3 x = 9$$

Resolver para x

$$x=-2$$

Pasos de la solución

Resta -3x en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{2x+13}=9+3x$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2x+13}\right)^{2}=\left(9+3x\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+13} a la potencia de 2 y obtiene 2x+13.

$$2x+13=\left(9+3x\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(9+3x\right)^{2}.

$$2x+13=81+54x+9x^{2}$$

Resta 81 en los dos lados.

$$2x+13-81=54x+9x^{2}$$

Resta 81 de 13 para obtener -68.

$$2x-68=54x+9x^{2}$$

Resta 54x en los dos lados.

$$2x-68-54x=9x^{2}$$

Combina 2x y -54x para obtener -52x.

$$-52x-68=9x^{2}$$

Resta 9x^{2} en los dos lados.

$$-52x-68-9x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-9x^{2}-52x-68=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -9x^{2}+ax+bx-68. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-52 ab=-9\left(-68\right)=612$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 612.

$$-1,-612 -2,-306 -3,-204 -4,-153 -6,-102 -9,-68 -12,-51 -17,-36 -18,-34$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-612=-613 -2-306=-308 -3-204=-207 -4-153=-157 -6-102=-108 -9-68=-77 -12-51=-63 -17-36=-53 -18-34=-52$$

La solución es el par que proporciona suma -52.

$$a=-18 b=-34$$

Vuelva a escribir -9x^{2}-52x-68 como \left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right).

$$\left(-9x^{2}-18x\right)+\left(-34x-68\right)$$

Factoriza 9x en el primero y 34 en el segundo grupo.

$$9x\left(-x-2\right)+34\left(-x-2\right)$$

Simplifica el término común -x-2 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x-2\right)\left(9x+34\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x-2=0 y 9x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{9}$$

Sustituya -2 por x en la ecuación \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-2\right)+13}-3\left(-2\right)=9$$

Simplifica. El valor x=-2 satisface la ecuación.

$$9=9$$

Sustituya -\frac{34}{9} por x en la ecuación \sqrt{2x+13}-3x=9.

$$\sqrt{2\left(-\frac{34}{9}\right)+13}-3\left(-\frac{34}{9}\right)=9$$

Simplifica. El valor x=-\frac{34}{9} no satisface la ecuación.

$$\frac{41}{3}=9$$

La ecuación \sqrt{2x+13}=3x+9 tiene una solución única.

$$x=-2$$