Solucionar sqrt{2x+1}-sqrt{x+2}=2sqrt{3}

$$\sqrt { 2 x + 1 } - \sqrt { x + 2 } = 2 \sqrt { 3 }$$

Resolver para x

$$x=73$$

Pasos de la solución

Resta -\sqrt{x+2} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{2x+1}=2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}=\left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+1} a la potencia de 2 y obtiene 2x+1.

$$2x+1=\left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$2x+1=4\left(\sqrt{3}\right)^{2}+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$2x+1=4\times 3+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Multiplica 4 y 3 para obtener 12.

$$2x+1=12+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+2} a la potencia de 2 y obtiene x+2.

$$2x+1=12+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+x+2$$

Suma 12 y 2 para obtener 14.

$$2x+1=14+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+x$$

Resta 14+x en los dos lados de la ecuación.

$$2x+1-\left(14+x\right)=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Para calcular el opuesto de 14+x, calcule el opuesto de cada término.

$$2x+1-14-x=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Resta 14 de 1 para obtener -13.

$$2x-13-x=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Combina 2x y -x para obtener x.

$$x-13=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(x-13\right)^{2}=\left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-13\right)^{2}.

$$x^{2}-26x+169=\left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$x^{2}-26x+169=4^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Calcula 4 a la potencia de 2 y obtiene 16.

$$x^{2}-26x+169=16\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$x^{2}-26x+169=16\times 3\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Multiplica 16 y 3 para obtener 48.

$$x^{2}-26x+169=48\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+2} a la potencia de 2 y obtiene x+2.

$$x^{2}-26x+169=48\left(x+2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 48 por x+2.

$$x^{2}-26x+169=48x+96$$

Resta 48x en los dos lados.

$$x^{2}-26x+169-48x=96$$

Combina -26x y -48x para obtener -74x.

$$x^{2}-74x+169=96$$

Resta 96 en los dos lados.

$$x^{2}-74x+169-96=0$$

Resta 96 de 169 para obtener 73.

$$x^{2}-74x+73=0$$

Para resolver la ecuación, factor x^{2}-74x+73 utilizar la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-74 ab=73$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=-73 b=-1$$

Vuelve a escribir la expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) con los valores obtenidos.

$$\left(x-73\right)\left(x-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-73=0 y x-1=0.

$$x=73 x=1$$

Sustituya 73 por x en la ecuación \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3}.

$$\sqrt{2\times 73+1}-\sqrt{73+2}=2\sqrt{3}$$

Simplifica. El valor x=73 satisface la ecuación.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya 1 por x en la ecuación \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3}.

$$\sqrt{2\times 1+1}-\sqrt{1+2}=2\sqrt{3}$$

Simplifica. El valor x=1 no satisface la ecuación.

$$0=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya 73 por x en la ecuación \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3}.

$$\sqrt{2\times 73+1}-\sqrt{73+2}=2\sqrt{3}$$

Simplifica. El valor x=73 satisface la ecuación.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

La ecuación \sqrt{2x+1}=\sqrt{x+2}+2\sqrt{3} tiene una solución única.

$$x=73$$