Solucionar sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Resolver para x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2-x} a la potencia de 2 y obtiene 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Agrega 2x a ambos lados.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Combina -x y 2x para obtener x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Resta 1 en los dos lados.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Resta 1 de 2 para obtener 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, 1 por b y 1 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 1 y 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} dónde ± es más. Suma -1 y \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divide -1+\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} dónde ± es menos. Resta \sqrt{5} de -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divide -1-\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Sustituya \frac{1-\sqrt{5}}{2} por x en la ecuación \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Simplifica. El valor x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya \frac{\sqrt{5}+1}{2} por x en la ecuación \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Simplifica. El valor x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} satisface la ecuación.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

La ecuación \sqrt{2-x}=x-1 tiene una solución única.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$