Solucionar sqrt{10-3x}=2+sqrt{x+6}

$$\sqrt { 10 - 3 x } = 2 + \sqrt { x + 6 }$$

Resolver para x

$$x=-2$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{10-3x}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{10-3x} a la potencia de 2 y obtiene 10-3x.

$$10-3x=\left(2+\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$10-3x=4+4\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+6} a la potencia de 2 y obtiene x+6.

$$10-3x=4+4\sqrt{x+6}+x+6$$

Suma 4 y 6 para obtener 10.

$$10-3x=10+4\sqrt{x+6}+x$$

Resta 10+x en los dos lados de la ecuación.

$$10-3x-\left(10+x\right)=4\sqrt{x+6}$$

Para calcular el opuesto de 10+x, calcule el opuesto de cada término.

$$10-3x-10-x=4\sqrt{x+6}$$

Resta 10 de 10 para obtener 0.

$$-3x-x=4\sqrt{x+6}$$

Combina -3x y -x para obtener -4x.

$$-4x=4\sqrt{x+6}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-4x\right)^{2}=\left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Expande \left(-4x\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}x^{2}=\left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcula -4 a la potencia de 2 y obtiene 16.

$$16x^{2}=\left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$16x^{2}=4^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcula 4 a la potencia de 2 y obtiene 16.

$$16x^{2}=16\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+6} a la potencia de 2 y obtiene x+6.

$$16x^{2}=16\left(x+6\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 16 por x+6.

$$16x^{2}=16x+96$$

Resta 16x en los dos lados.

$$16x^{2}-16x=96$$

Resta 96 en los dos lados.

$$16x^{2}-16x-96=0$$

Divide los dos lados por 16.

$$x^{2}-x-6=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como x^{2}+ax+bx-6. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-1 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La solución es el par que proporciona suma -1.

$$a=-3 b=2$$

Vuelva a escribir x^{2}-x-6 como \left(x^{2}-3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Factoriza x en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Simplifica el término común x-3 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-3=0 y x+2=0.

$$x=3 x=-2$$

Sustituya 3 por x en la ecuación \sqrt{10-3x}=2+\sqrt{x+6}.

$$\sqrt{10-3\times 3}=2+\sqrt{3+6}$$

Simplifica. El valor x=3 no satisface la ecuación.

$$1=5$$

Sustituya -2 por x en la ecuación \sqrt{10-3x}=2+\sqrt{x+6}.

$$\sqrt{10-3\left(-2\right)}=2+\sqrt{-2+6}$$

Simplifica. El valor x=-2 satisface la ecuación.

$$4=4$$

La ecuación \sqrt{10-3x}=\sqrt{x+6}+2 tiene una solución única.

$$x=-2$$