Solucionar sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Resolver para x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Suma 4 y 4 para obtener 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

El opuesto de -2 es 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Suma 4 y 16 para obtener 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Combina x^{2} y -x^{2} para obtener 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Resta 4x en los dos lados.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Combina -4x y -4x para obtener -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Resta 8 en los dos lados.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Resta 8 de 20 para obtener 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Resta y^{2} en los dos lados.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Combina y^{2} y -y^{2} para obtener 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Agrega 4y a ambos lados.

$$-8x=12-8y+4y$$

Combina -8y y 4y para obtener -4y.

$$-8x=12-4y$$

Divide los dos lados por -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Al dividir por -8, se deshace la multiplicación por -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Divide 12-4y por -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Sustituya \frac{y-3}{2} por x en la ecuación \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Simplifica. El valor x=\frac{y-3}{2} satisface la ecuación.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

La ecuación \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} tiene una solución única.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Resolver para y

$$y=2x+3$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Suma 4 y 4 para obtener 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

El opuesto de -2 es 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Suma 4 y 16 para obtener 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Resta y^{2} en los dos lados.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Combina y^{2} y -y^{2} para obtener 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Agrega 8y a ambos lados.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Combina -4y y 8y para obtener 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Combina x^{2} y -x^{2} para obtener 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Agrega 4x a ambos lados.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Combina 4x y 4x para obtener 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Resta 8 en los dos lados.

$$4y=8x+20-8$$

Resta 8 de 20 para obtener 12.

$$4y=8x+12$$

Divide los dos lados por 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Al dividir por 4, se deshace la multiplicación por 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Divide 8x+12 por 4.

$$y=2x+3$$

Sustituya 2x+3 por y en la ecuación \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Simplifica. El valor y=2x+3 satisface la ecuación.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

La ecuación \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} tiene una solución única.

$$y=2x+3$$