Solucionar sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Resolver para x

$$x=y+2$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Suma 49 y 1 para obtener 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Suma 9 y 25 para obtener 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Agrega 6x a ambos lados.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Combina -14x y 6x para obtener -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Combina x^{2} y -x^{2} para obtener 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Resta 50 en los dos lados.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Resta 50 de 34 para obtener -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Agrega 2y a ambos lados.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Combina -10y y 2y para obtener -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Resta y^{2} en los dos lados.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Combina y^{2} y -y^{2} para obtener 0.

$$-8x=-16-8y$$

La ecuación está en formato estándar.

$$-8x=-8y-16$$

Divide los dos lados por -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

Al dividir por -8, se deshace la multiplicación por -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Divide -16-8y por -8.

$$x=y+2$$

Sustituya y+2 por x en la ecuación \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Simplifica. El valor x=y+2 satisface la ecuación.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

La ecuación \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} tiene una solución única.

$$x=y+2$$

Resolver para y

$$y=x-2$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Suma 49 y 1 para obtener 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Suma 9 y 25 para obtener 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Agrega 10y a ambos lados.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Combina -2y y 10y para obtener 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Resta y^{2} en los dos lados.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Combina y^{2} y -y^{2} para obtener 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Resta 50 en los dos lados.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Resta 50 de 34 para obtener -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Agrega 14x a ambos lados.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Combina -6x y 14x para obtener 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Combina x^{2} y -x^{2} para obtener 0.

$$8y=-16+8x$$

La ecuación está en formato estándar.

$$8y=8x-16$$

Divide los dos lados por 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

Al dividir por 8, se deshace la multiplicación por 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Divide -16+8x por 8.

$$y=x-2$$

Sustituya x-2 por y en la ecuación \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Simplifica. El valor y=x-2 satisface la ecuación.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

La ecuación \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} tiene una solución única.

$$y=x-2$$