Solucionar sqrt{[(1-t)-(1)]^2+[(1)-(2t)]^2}=sqrt{11-9t}

$$\sqrt { [ ( 1 - t ) - ( 1 ) ] ^ { 2 } + [ ( 1 ) - ( 2 t ) ] ^ { 2 } } = \sqrt { 11 - 9 t }$$

Resolver para t

$$t=1$$

$$t=-2$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{\left(1-t-1\right)^{2}+\left(1-2t\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{11-9t}\right)^{2}$$

Resta 1 de 1 para obtener 0.

$$\left(\sqrt{\left(-t\right)^{2}+\left(1-2t\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{11-9t}\right)^{2}$$

Expande \left(-t\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{\left(-1\right)^{2}t^{2}+\left(1-2t\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{11-9t}\right)^{2}$$

Calcula -1 a la potencia de 2 y obtiene 1.

$$\left(\sqrt{1t^{2}+\left(1-2t\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{11-9t}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(1-2t\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{1t^{2}+1-4t+4t^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{11-9t}\right)^{2}$$

Combina 1t^{2} y 4t^{2} para obtener 5t^{2}.

$$\left(\sqrt{5t^{2}+1-4t}\right)^{2}=\left(\sqrt{11-9t}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{5t^{2}+1-4t} a la potencia de 2 y obtiene 5t^{2}+1-4t.

$$5t^{2}+1-4t=\left(\sqrt{11-9t}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{11-9t} a la potencia de 2 y obtiene 11-9t.

$$5t^{2}+1-4t=11-9t$$

Resta 11 en los dos lados.

$$5t^{2}+1-4t-11=-9t$$

Resta 11 de 1 para obtener -10.

$$5t^{2}-10-4t=-9t$$

Agrega 9t a ambos lados.

$$5t^{2}-10-4t+9t=0$$

Combina -4t y 9t para obtener 5t.

$$5t^{2}-10+5t=0$$

Divide los dos lados por 5.

$$t^{2}-2+t=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$t^{2}+t-2=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como t^{2}+at+bt-2. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=-1 b=2$$

Vuelva a escribir t^{2}+t-2 como \left(t^{2}-t\right)+\left(2t-2\right).

$$\left(t^{2}-t\right)+\left(2t-2\right)$$

Factoriza t en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$t\left(t-1\right)+2\left(t-1\right)$$

Simplifica el término común t-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva t-1=0 y t+2=0.

$$t=1 t=-2$$

Sustituya 1 por t en la ecuación \sqrt{\left(1-t-1\right)^{2}+\left(1-2t\right)^{2}}=\sqrt{11-9t}.

$$\sqrt{\left(1-1-1\right)^{2}+\left(1-2\right)^{2}}=\sqrt{11-9}$$

Simplifica. El valor t=1 satisface la ecuación.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya -2 por t en la ecuación \sqrt{\left(1-t-1\right)^{2}+\left(1-2t\right)^{2}}=\sqrt{11-9t}.

$$\sqrt{\left(1-\left(-2\right)-1\right)^{2}+\left(1-2\left(-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{11-9\left(-2\right)}$$

Simplifica. El valor t=-2 satisface la ecuación.

$$29^{\frac{1}{2}}=29^{\frac{1}{2}}$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{\left(1-2t\right)^{2}+\left(-t\right)^{2}}=\sqrt{11-9t}.

$$t=1 t=-2$$