Solucionar {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Resolver para x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Pasos con sustitución

Considere la primera ecuación. Agrega y a ambos lados.

$$x+y=5$$

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Elija una de las ecuaciones y solucione el x mediante el aislamiento de x en el lado izquierdo del signo igual.

$$x+y=5$$

Resta y en los dos lados de la ecuación.

$$x=-y+5$$

Sustituye -y+5 por x en la otra ecuación, 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Multiplica 7 por -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Suma -7y y 3y.

$$-4y+35=47$$

Resta 35 en los dos lados de la ecuación.

$$-4y=12$$

Divide los dos lados por -4.

$$y=-3$$

Sustituye -3 por y en x=-y+5. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Multiplica -1 por -3.

$$x=3+5$$

Suma 5 y 3.

$$x=8$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=8,y=-3$$

Pasos con matrices

Considere la primera ecuación. Agrega y a ambos lados.

$$x+y=5$$

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplicar por la matriz inversa de la ecuación de \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Para la matriz de 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) y, por lo tanto, la ecuación matricial se puede reescribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=8,y=-3$$

Pasos con eliminación

Considere la primera ecuación. Agrega y a ambos lados.

$$x+y=5$$

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Para que x y 7x sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por 7 y todos los términos de cada lado de la segunda por 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Simplifica.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Resta 7x+3y=47 de 7x+7y=35. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Suma 7x y -7x. Términos 7x y -7x se anulan y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$7y-3y=35-47$$

Suma 7y y -3y.

$$4y=35-47$$

Suma 35 y -47.

$$4y=-12$$

Divide los dos lados por 4.

$$y=-3$$

Sustituye -3 por y en 7x+3y=47. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Multiplica 3 por -3.

$$7x-9=47$$

Suma 9 a los dos lados de la ecuación.

$$7x=56$$

Divide los dos lados por 7.

$$x=8$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=8,y=-3$$