Solucionar {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Resolver para x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Pasos con sustitución

Considere la primera ecuación. Resta y en los dos lados.

$$x-3-y=0$$

Agrega 3 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$x-y=3$$

Considere la segunda ecuación. Resta y en los dos lados.

$$37-3x-y=0$$

Resta 37 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$-3x-y=-37$$

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Elija una de las ecuaciones y solucione el x mediante el aislamiento de x en el lado izquierdo del signo igual.

$$x-y=3$$

Suma y a los dos lados de la ecuación.

$$x=y+3$$

Sustituye y+3 por x en la otra ecuación, -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Multiplica -3 por y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Suma -3y y -y.

$$-4y-9=-37$$

Suma 9 a los dos lados de la ecuación.

$$-4y=-28$$

Divide los dos lados por -4.

$$y=7$$

Sustituye 7 por y en x=y+3. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=7+3$$

Suma 3 y 7.

$$x=10$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=10,y=7$$

Pasos con matrices

Considere la primera ecuación. Resta y en los dos lados.

$$x-3-y=0$$

Agrega 3 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$x-y=3$$

Considere la segunda ecuación. Resta y en los dos lados.

$$37-3x-y=0$$

Resta 37 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$-3x-y=-37$$

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplicar por la matriz inversa de la ecuación de \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Para la matriz de 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) y, por lo tanto, la ecuación matricial se puede reescribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=10,y=7$$

Pasos con eliminación

Considere la primera ecuación. Resta y en los dos lados.

$$x-3-y=0$$

Agrega 3 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$x-y=3$$

Considere la segunda ecuación. Resta y en los dos lados.

$$37-3x-y=0$$

Resta 37 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$-3x-y=-37$$

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Resta -3x-y=-37 de x-y=3. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Suma -y y y. Términos -y y y se anulan y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$x+3x=3+37$$

Suma x y 3x.

$$4x=3+37$$

Suma 3 y 37.

$$4x=40$$

Divide los dos lados por 4.

$$x=10$$

Sustituye 10 por x en -3x-y=-37. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para y directamente.

$$-3\times 10-y=-37$$

Multiplica -3 por 10.

$$-30-y=-37$$

Suma 30 a los dos lados de la ecuación.

$$-y=-7$$

Divide los dos lados por -1.

$$y=7$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=10,y=7$$