Resolver para x_1, x_2
x_{1}=\frac{1}{2}=0.5
x_{2}=2
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2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6
Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.
2x_{1}+3x_{2}=7
Elija una de las ecuaciones y solucione el x_{1} mediante el aislamiento de x_{1} en el lado izquierdo del signo igual.
2x_{1}=-3x_{2}+7
Resta 3x_{2} en los dos lados de la ecuación.
x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)
Divide los dos lados por 2.
x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}
Multiplica \frac{1}{2} por -3x_{2}+7.
4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6
Sustituye \frac{-3x_{2}+7}{2} por x_{1} en la otra ecuación, 4x_{1}-4x_{2}=-6.
-6x_{2}+14-4x_{2}=-6
Multiplica 4 por \frac{-3x_{2}+7}{2}.
-10x_{2}+14=-6
Suma -6x_{2} y -4x_{2}.
-10x_{2}=-20
Resta 14 en los dos lados de la ecuación.
x_{2}=2
Divide los dos lados por -10.
x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}
Sustituye 2 por x_{2} en x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x_{1} directamente.
x_{1}=-3+\frac{7}{2}
Multiplica -\frac{3}{2} por 2.
x_{1}=\frac{1}{2}
Suma \frac{7}{2} y -3.
x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2
El sistema ya funciona correctamente.
2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6
Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.
\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Escribe la ecuación en forma matricial.
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Izquierda multiplicar por la matriz inversa de la ecuación de \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Para la matriz de 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) y, por lo tanto, la ecuación matricial se puede reescribir como un problema de multiplicación de matrices.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)
Calcula la operación aritmética.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)
Multiplica las matrices.
\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)
Calcula la operación aritmética.
x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2
Extrae los elementos de la matriz x_{1} y x_{2}.
2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6
Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.
4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)
Para que 2x_{1} y 4x_{1} sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por 4 y todos los términos de cada lado de la segunda por 2.
8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12
Simplifica.
8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12
Resta 8x_{1}-8x_{2}=-12 de 8x_{1}+12x_{2}=28. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.
12x_{2}+8x_{2}=28+12
Suma 8x_{1} y -8x_{1}. Términos 8x_{1} y -8x_{1} se anulan y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.
20x_{2}=28+12
Suma 12x_{2} y 8x_{2}.
20x_{2}=40
Suma 28 y 12.
x_{2}=2
Divide los dos lados por 20.
4x_{1}-4\times 2=-6
Sustituye 2 por x_{2} en 4x_{1}-4x_{2}=-6. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x_{1} directamente.
4x_{1}-8=-6
Multiplica -4 por 2.
4x_{1}=2
Suma 8 a los dos lados de la ecuación.
x_{1}=\frac{1}{2}
Divide los dos lados por 4.
x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2
El sistema ya funciona correctamente.
Ejemplos
Ecuación cuadrática
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometría
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ecuación lineal
y = 3x + 4
Aritmética
699 * 533
Matriz
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ecuación simultánea
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferenciación
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integración
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Límites
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}