Solucionar {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver para x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Pasos con sustitución

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Elija una de las ecuaciones y solucione el x mediante el aislamiento de x en el lado izquierdo del signo igual.

$$12x+4y=6$$

Resta 4y en los dos lados de la ecuación.

$$12x=-4y+6$$

Divide los dos lados por 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{12} por -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Sustituye -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} por x en la otra ecuación, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Multiplica 9 por -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Suma -3y y 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Resta \frac{9}{2} en los dos lados de la ecuación.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Divide los dos lados por 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Sustituye \frac{7}{26} por y en x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por \frac{7}{26}. Para hacerlo, multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} y -\frac{7}{78}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x=\frac{16}{39}$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Pasos con matrices

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplicar por la matriz inversa de la ecuación de \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Para la matriz de 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) y, por lo tanto, la ecuación matricial se puede reescribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Pasos con eliminación

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Para que 12x y 9x sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por 9 y todos los términos de cada lado de la segunda por 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Simplifica.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Resta 108x+192y=96 de 108x+36y=54. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Suma 108x y -108x. Términos 108x y -108x se anulan y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$36y-192y=54-96$$

Suma 36y y -192y.

$$-156y=54-96$$

Suma 54 y -96.

$$-156y=-42$$

Divide los dos lados por -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Sustituye \frac{7}{26} por y en 9x+16y=8. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Multiplica 16 por \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Resta \frac{56}{13} en los dos lados de la ecuación.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Divide los dos lados por 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$