Solucionar {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver para x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Pasos con sustitución

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo común denominador de 3,2.

$$2x-3y=48$$

Considere la segunda ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 15, el mínimo común denominador de 5,3.

$$3x+5y=15$$

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Elija una de las ecuaciones y solucione el x mediante el aislamiento de x en el lado izquierdo del signo igual.

$$2x-3y=48$$

Suma 3y a los dos lados de la ecuación.

$$2x=3y+48$$

Divide los dos lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Sustituye \frac{3y}{2}+24 por x en la otra ecuación, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Multiplica 3 por \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Suma \frac{9y}{2} y 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Resta 72 en los dos lados de la ecuación.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Divide los dos lados de la ecuación por \frac{19}{2}, que es lo mismo que multiplicar los dos lados por el recíproco de la fracción.

$$y=-6$$

Sustituye -6 por y en x=\frac{3}{2}y+24. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Multiplica \frac{3}{2} por -6.

$$x=-9+24$$

Suma 24 y -9.

$$x=15$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=15,y=-6$$

Pasos con matrices

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo común denominador de 3,2.

$$2x-3y=48$$

Considere la segunda ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 15, el mínimo común denominador de 5,3.

$$3x+5y=15$$

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplicar por la matriz inversa de la ecuación de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Para la matriz de 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) y, por lo tanto, la ecuación matricial se puede reescribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=15,y=-6$$

Pasos con eliminación

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo común denominador de 3,2.

$$2x-3y=48$$

Considere la segunda ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 15, el mínimo común denominador de 5,3.

$$3x+5y=15$$

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Para que 2x y 3x sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por 3 y todos los términos de cada lado de la segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Simplifica.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Resta 6x+10y=30 de 6x-9y=144. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Suma 6x y -6x. Términos 6x y -6x se anulan y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$-9y-10y=144-30$$

Suma -9y y -10y.

$$-19y=144-30$$

Suma 144 y -30.

$$-19y=114$$

Divide los dos lados por -19.

$$y=-6$$

Sustituye -6 por y en 3x+5y=15. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Multiplica 5 por -6.

$$3x-30=15$$

Suma 30 a los dos lados de la ecuación.

$$3x=45$$

Divide los dos lados por 3.

$$x=15$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=15,y=-6$$