Solucionar {ccc}{i}&{j}&{K}{1}&{-1}&{1}{3}&{2}&{-12}

$$\left| \begin{array} { c c c } { i } & { j } & { K } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 3 } & { 2 } & { - 12 } \end{array} \right|$$

Calcular

$$5\left(K+3j+2i\right)$$

Pasos con regla de Sarrus

Obtiene el determinante de la matriz con el método de diagonales.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&K\\1&-1&1\\3&2&-12\end{matrix}\right))$$

Extiende la matriz original. Para hacerlo, repite las dos primeras columnas como las columnas cuarta y quinta.

$$\left(\begin{matrix}i&j&K&i&j\\1&-1&1&1&-1\\3&2&-12&3&2\end{matrix}\right)$$

Empezando en la entrada superior izquierda, multiplica hacia abajo a lo largo de las diagonales y suma los productos resultantes.

$$-i\left(-12\right)+j\times 3+K\times 2=2K+3j+12i$$

Empezando en la entrada inferior izquierda, multiplica hacia arriba a lo largo de las diagonales y suma los productos resultantes.

$$3\left(-1\right)K+2i-12j=2i-12j-3K$$

Resta la suma de los productos diagonales hacia arriba de la suma de los productos diagonales hacia abajo.

$$2K+3j+12i-\left(2i-12j-3K\right)$$

Resta -3K+2i-12j de 12i+3j+2K.

$$5K+15j+10i$$

Pasos con expansión por menores

Obtiene el determinante de la matriz con el método de expansión por menores (que también se denomina expansión por cofactores).

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&K\\1&-1&1\\3&2&-12\end{matrix}\right))$$

Para expandir por menores, multiplique cada elemento de la primera fila por su menor (que es el determinante de la matriz de 2\times 2 creada al eliminar la fila y la columna que contienen dicho elemento) y, después, multiplíquelos por el signo de posición del elemento.

$$idet(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-12\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-12\end{matrix}\right))+Kdet(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))$$

Para la matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), el determinante es ad-bc.

$$i\left(-\left(-12\right)-2\right)-j\left(-12-3\right)+K\left(2-3\left(-1\right)\right)$$

Simplifica.

$$10i-j\left(-15\right)+K\times 5$$

Suma los términos para obtener el resultado final.

$$5K+15j+10i$$