Solucionar {ccc}{0}&{2}&{0}{z}&{3i}&{i}{-i}&{0}&{1+i}=

$$\left| \begin{array} { c c c } { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { z } & { 3 i } & { i } \\ { - i } & { 0 } & { 1 + i } \end{array} \right| =$$

Calcular

$$\left(-2-2i\right)z+2$$

Pasos con regla de Sarrus

Obtiene el determinante de la matriz con el método de diagonales.

$$det(\left(\begin{matrix}0&2&0\\z&3i&i\\-i&0&1+i\end{matrix}\right))$$

Extiende la matriz original. Para hacerlo, repite las dos primeras columnas como las columnas cuarta y quinta.

$$\left(\begin{matrix}0&2&0&0&2\\z&3i&i&z&3i\\-i&0&1+i&-i&0\end{matrix}\right)$$

Empezando en la entrada superior izquierda, multiplica hacia abajo a lo largo de las diagonales y suma los productos resultantes.

$$2i\left(-i\right)=2$$

Empezando en la entrada inferior izquierda, multiplica hacia arriba a lo largo de las diagonales y suma los productos resultantes.

$$\left(1+i\right)z\times 2=\left(2+2i\right)z$$

Resta la suma de los productos diagonales hacia arriba de la suma de los productos diagonales hacia abajo.

$$2-\left(2+2i\right)z$$

Resta \left(2+2i\right)z de 2.

$$\left(-2-2i\right)z+2$$

Pasos con expansión por menores

Obtiene el determinante de la matriz con el método de expansión por menores (que también se denomina expansión por cofactores).

$$det(\left(\begin{matrix}0&2&0\\z&3i&i\\-i&0&1+i\end{matrix}\right))$$

Para expandir por menores, multiplique cada elemento de la primera fila por su menor (que es el determinante de la matriz de 2\times 2 creada al eliminar la fila y la columna que contienen dicho elemento) y, después, multiplíquelos por el signo de posición del elemento.

$$-2det(\left(\begin{matrix}z&i\\-i&1+i\end{matrix}\right))$$

Para la matriz de 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), el determinante es ad-bc.

$$-2\left(z\left(1+i\right)-\left(-ii\right)\right)$$

Simplifica.

$$-2\left(\left(1+i\right)z-1\right)$$

Suma los términos para obtener el resultado final.

$$\left(-2-2i\right)z+2$$