Solucionar {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver para x, y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

Pasos con sustitución y fórmula cuadrática

Considere la segunda ecuación. Resta y^{2} en los dos lados.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

Agrega 6 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

Para resolver el x-y=\frac{1}{4} de x, aísle x en el lado izquierdo del signo igual.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

Resta -y en los dos lados de la ecuación.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

Sustituye y+\frac{1}{4} por x en la otra ecuación, -y^{2}+3x^{2}=6.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

Obtiene el cuadrado de y+\frac{1}{4}.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

Multiplica 3 por y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Suma -y^{2} y 3y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Resta 6 en los dos lados de la ecuación.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya -1+3\times 1^{2} por a, 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 por b y -\frac{93}{16} por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Obtiene el cuadrado de 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -\frac{93}{16}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

Suma \frac{9}{4} y \frac{93}{2}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

Toma la raíz cuadrada de \frac{195}{4}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

Ahora resuelva la ecuación y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} cuando ± es más. Suma -\frac{3}{2} y \frac{\sqrt{195}}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Divide \frac{-3+\sqrt{195}}{2} por 4.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

Ahora resuelva la ecuación y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} cuando ± es menos. Resta \frac{\sqrt{195}}{2} de -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Divide \frac{-3-\sqrt{195}}{2} por 4.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

Hay dos soluciones para y: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} y \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. Sustituye \frac{-3+\sqrt{195}}{8} por y en la ecuación x=y+\frac{1}{4} para obtener la solución correspondiente de x que sea válida para las dos ecuaciones.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Ahora, sustituya \frac{-3-\sqrt{195}}{8} por y en la ecuación x=y+\frac{1}{4} y resuélvala para obtener la solución correspondiente para x que sea válida para las dos ecuaciones.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$