Solucionar {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Resolver para x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Pasos con sustitución

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Elija una de las ecuaciones y solucione el x mediante el aislamiento de x en el lado izquierdo del signo igual.

$$2x+4y=2060$$

Resta 4y en los dos lados de la ecuación.

$$2x=-4y+2060$$

Divide los dos lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Sustituye -2y+1030 por x en la otra ecuación, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Multiplica 5 por -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Suma -10y y 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Resta 5150 en los dos lados de la ecuación.

$$-3y=-3510$$

Divide los dos lados por -3.

$$y=1170$$

Sustituye 1170 por y en x=-2y+1030. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Multiplica -2 por 1170.

$$x=-2340+1030$$

Suma 1030 y -2340.

$$x=-1310$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=-1310,y=1170$$

Pasos con matrices

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplicar por la matriz inversa de la ecuación de \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Para la matriz de 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) y, por lo tanto, la ecuación matricial se puede reescribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=-1310,y=1170$$

Pasos con eliminación

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Para que 2x y 5x sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por 5 y todos los términos de cada lado de la segunda por 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Simplifica.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Resta 10x+14y=3280 de 10x+20y=10300. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Suma 10x y -10x. Términos 10x y -10x se anulan y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$20y-14y=10300-3280$$

Suma 20y y -14y.

$$6y=10300-3280$$

Suma 10300 y -3280.

$$6y=7020$$

Divide los dos lados por 6.

$$y=1170$$

Sustituye 1170 por y en 5x+7y=1640. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Multiplica 7 por 1170.

$$5x+8190=1640$$

Resta 8190 en los dos lados de la ecuación.

$$5x=-6550$$

Divide los dos lados por 5.

$$x=-1310$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=-1310,y=1170$$