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\int x^{2}\left(x^{3}+3x^{2}+3x+1\right)\mathrm{d}x
Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} para expandir \left(x+1\right)^{3}.
\int x^{5}+3x^{4}+3x^{3}+x^{2}\mathrm{d}x
Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{2} por x^{3}+3x^{2}+3x+1.
\int x^{5}\mathrm{d}x+\int 3x^{4}\mathrm{d}x+\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x
Integrar suma término por término.
\int x^{5}\mathrm{d}x+3\int x^{4}\mathrm{d}x+3\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x
Simplificar la constante en cada uno de los términos.
\frac{x^{6}}{6}+3\int x^{4}\mathrm{d}x+3\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x
Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{5}\mathrm{d}x por \frac{x^{6}}{6}.
\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}+3\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x
Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}. Multiplica 3 por \frac{x^{5}}{5}.
\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{3x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x
Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}. Multiplica 3 por \frac{x^{4}}{4}.
\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{3x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}
Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}.
\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{4}}{4}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{x^{6}}{6}
Simplifica.
\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{4}}{4}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{x^{6}}{6}+С
Si F\left(x\right) es un antiderivado de f\left(x\right), el conjunto de todos los antiderivados de f\left(x\right) viene dado por F\left(x\right)+C. Por lo tanto, agregue la constante de la integración C\in \mathrm{R} al resultado.