Solucionar ∫ (from r to sqrt { alpha ^ 2) of - r}r wrt z

$$\int _ { r } ^ { \sqrt { \alpha ^ { 2 } - r } } r d z$$

Calcular

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

$$r\leq \alpha ^{2}$$

Pasos de la solución

Evaluar primero la integral indefinida.

$$\int r\mathrm{d}z$$

Encuentra la parte entera de r mediante la tabla de \int a\mathrm{d}z=az de regla integral común.

$$rz$$

La integral definida es la antiderivada de la expresión calculada en el límite superior de la integración, menos la antiderivada calculada en el límite inferior de la integración.

$$r\left(\alpha ^{2}-r\right)^{\frac{1}{2}}-rr$$

Simplifica.

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

Diferenciar w.r.t. r

$$\frac{\alpha ^{2}}{\sqrt{\alpha ^{2}-r}}-2r-\frac{3r}{2\sqrt{\alpha ^{2}-r}}$$