Solucionar ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Calcular

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Pasos de la solución

Usa la propiedad distributiva para multiplicar \sqrt{x}+1 por \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Calcula \sqrt{x} a la potencia de 2 y obtiene x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Evaluar primero la integral indefinida.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrar suma término por término.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x\mathrm{d}x por \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Vuelva a escribir \sqrt{x} como x^{\frac{1}{2}}. Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x por \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplifica.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

La integral definida es la antiderivada de la expresión calculada en el límite superior de la integración, menos la antiderivada calculada en el límite inferior de la integración.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Simplifica.

$$\frac{271}{6}$$