Solucionar ∫ (from 1 to 2) of (2x^3+4x)^2 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( 2 x ^ { 3 } + 4 x ) ^ { 2 } d x$$

Calcular

$$\frac{21956}{105}\approx 209,104761905$$

Pasos de la solución

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x^{3}+4x\right)^{2}.

$$\int _{1}^{2}4\left(x^{3}\right)^{2}+16x^{3}x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 3 y 2 para obtener 6.

$$\int _{1}^{2}4x^{6}+16x^{3}x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Para multiplicar potencias de la misma base, sume sus exponentes. Sume 3 y 1 para obtener 4.

$$\int _{1}^{2}4x^{6}+16x^{4}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Evaluar primero la integral indefinida.

$$\int 4x^{6}+16x^{4}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrar suma término por término.

$$\int 4x^{6}\mathrm{d}x+\int 16x^{4}\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

Simplificar la constante en cada uno de los términos.

$$4\int x^{6}\mathrm{d}x+16\int x^{4}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{6}\mathrm{d}x por \frac{x^{7}}{7}. Multiplica 4 por \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{4x^{7}}{7}+16\int x^{4}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}. Multiplica 16 por \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{4x^{7}}{7}+\frac{16x^{5}}{5}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica 16 por \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{7}}{7}+\frac{16x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Simplifica.

$$\frac{16x^{3}}{3}+\frac{16x^{5}}{5}+\frac{4x^{7}}{7}$$

La integral definida es la antiderivada de la expresión calculada en el límite superior de la integración, menos la antiderivada calculada en el límite inferior de la integración.

$$\frac{16}{3}\times 2^{3}+\frac{16}{5}\times 2^{5}+\frac{4}{7}\times 2^{7}-\left(\frac{16}{3}\times 1^{3}+\frac{16}{5}\times 1^{5}+\frac{4}{7}\times 1^{7}\right)$$

Simplifica.

$$\frac{21956}{105}$$