Solucionar ∫ (from 0 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

Calcular

$$\frac{1024}{105}\approx 9,752380952$$

Pasos de la solución

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4x-x^{3}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Para multiplicar potencias de la misma base, sume sus exponentes. Sume 1 y 3 para obtener 4.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 3 y 2 para obtener 6.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Evaluar primero la integral indefinida.

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Integrar suma término por término.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Simplificar la constante en cada uno de los términos.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica 16 por \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}. Multiplica -8 por \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{6}\mathrm{d}x por \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Simplifica.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

La integral definida es la antiderivada de la expresión calculada en el límite superior de la integración, menos la antiderivada calculada en el límite inferior de la integración.

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{0^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 0^{5}+\frac{16}{3}\times 0^{3}\right)$$

Simplifica.

$$\frac{1024}{105}$$