Solucionar ∫ (from 0 to pi / 3) of (1-cosθ)^2

$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 }$$

Calcular

$$\frac{\pi \left(\cos(\theta )-1\right)^{2}}{3}$$

Pasos de la solución

Evaluar primero la integral indefinida.

$$\int \left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Encuentra la parte entera de \left(1-\cos(\theta )\right)^{2} mediante la tabla de \int a\mathrm{d}x=ax de regla integral común.

$$\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}x$$

La integral definida es la antiderivada de la expresión calculada en el límite superior de la integración, menos la antiderivada calculada en el límite inferior de la integración.

$$\frac{1}{3}\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\pi +0\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}$$

Simplifica.

$$\frac{\left(\cos(\theta )-1\right)^{2}\pi }{3}$$

Diferenciar w.r.t. θ

$$-\frac{2\pi \sin(\theta )\left(\cos(\theta )-1\right)}{3}$$