Solucionar ∫ (from - 2 to 2) of (x^2-4)^2 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 2 } ( x ^ { 2 } - 4 ) ^ { 2 } d x$$

Calcular

$$\frac{512}{15}\approx 34,133333333$$

Pasos de la solución

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x^{2}-4\right)^{2}.

$$\int _{-2}^{2}\left(x^{2}\right)^{2}-8x^{2}+16\mathrm{d}x$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 2 y 2 para obtener 4.

$$\int _{-2}^{2}x^{4}-8x^{2}+16\mathrm{d}x$$

Evaluar primero la integral indefinida.

$$\int x^{4}-8x^{2}+16\mathrm{d}x$$

Integrar suma término por término.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -8x^{2}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Simplificar la constante en cada uno de los términos.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-8\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-8\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica -8 por \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{8x^{3}}{3}+\int 16\mathrm{d}x$$

Encuentra la parte entera de 16 mediante la tabla de \int a\mathrm{d}x=ax de regla integral común.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{8x^{3}}{3}+16x$$

Simplifica.

$$16x-\frac{8x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}$$

La integral definida es la antiderivada de la expresión calculada en el límite superior de la integración, menos la antiderivada calculada en el límite inferior de la integración.

$$16\times 2-\frac{8}{3}\times 2^{3}+\frac{2^{5}}{5}-\left(16\left(-2\right)-\frac{8}{3}\left(-2\right)^{3}+\frac{\left(-2\right)^{5}}{5}\right)$$

Simplifica.

$$\frac{512}{15}$$