Solucionar ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Calcular

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Pasos de la solución

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 1-y por y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Evaluar primero la integral indefinida.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrar suma término por término.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Simplificar la constante en cada uno de los términos.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Dado que \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int y\mathrm{d}y por \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Dado que \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int y^{2}\mathrm{d}y por \frac{y^{3}}{3}. Multiplica -1 por \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

La integral definida es la antiderivada de la expresión calculada en el límite superior de la integración, menos la antiderivada calculada en el límite inferior de la integración.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Simplifica.

$$-\frac{2}{3}$$