Solucionar ∫ (x+1/2)*(x^2+x)^2 wrt x

$$\int ( x + \frac { 1 } { 2 } ) \cdot ( x ^ { 2 } + x ) ^ { 2 } d x$$

Calcular

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+С$$

Pasos de la solución

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x^{2}+x\right)^{2}.

$$\int \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}x+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 2 y 2 para obtener 4.

$$\int \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x^{4}+2x^{2}x+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Para multiplicar potencias de la misma base, sume sus exponentes. Sume 2 y 1 para obtener 3.

$$\int \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x^{4}+2x^{3}+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+\frac{1}{2} por x^{4}+2x^{3}+x^{2} y combinar términos semejantes.

$$\int x^{5}+\frac{5}{2}x^{4}+2x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrar suma término por término.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x+\int \frac{5x^{4}}{2}\mathrm{d}x+\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int \frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x$$

Simplificar la constante en cada uno de los términos.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x+\frac{5\int x^{4}\mathrm{d}x}{2}+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{5}\mathrm{d}x por \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{5\int x^{4}\mathrm{d}x}{2}+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{4}\mathrm{d}x por \frac{x^{5}}{5}. Multiplica \frac{5}{2} por \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{5}}{2}+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{3}\mathrm{d}x por \frac{x^{4}}{4}. Multiplica 2 por \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

Dado que \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int x^{2}\mathrm{d}x por \frac{x^{3}}{3}. Multiplica \frac{1}{2} por \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$$

Simplifica.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{3}}{6}$$

Si F\left(x\right) es un antiderivado de f\left(x\right), el conjunto de todos los antiderivados de f\left(x\right) viene dado por F\left(x\right)+C. Por lo tanto, agregue la constante de la integración C\in \mathrm{R} al resultado.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{3}}{6}+С$$

Diferenciar w.r.t. x

$$\frac{\left(2x+1\right)\left(x\left(x+1\right)\right)^{2}}{2}$$