Solucionar ∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

Calcular

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

Pasos de la solución

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica -a-1 por \frac{a+1}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Como \frac{2a+10}{a+1} y \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Haga las multiplicaciones en 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right).

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Combine los términos semejantes en 2a+10-a^{2}-a-a-1.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Divide \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} por \frac{9-a^{2}}{a+1} al multiplicar \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} por el recíproco de \frac{9-a^{2}}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Factorice las expresiones que aún no se hayan factorizado en \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}.

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Anula \left(a-3\right)\left(a+1\right) tanto en el numerador como en el denominador.

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. El mínimo común múltiplo de \left(-a-3\right)\left(a+6\right) y a+3 es \left(a+3\right)\left(a+6\right). Multiplica \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} por \frac{-1}{-1}. Multiplica \frac{1}{a+3} por \frac{a+6}{a+6}.

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Como \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} y \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Haga las multiplicaciones en -\left(a-2\right)+a+6.

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Combine los términos semejantes en -a+2+a+6.

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Multiplica \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} por \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}} (para hacerlo, multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador).

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Anula 2 tanto en el numerador como en el denominador.

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Factorice las expresiones que aún no se hayan factorizado en \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Anula a+3 tanto en el numerador como en el denominador.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 2a-1.

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar a+6 por a^{2}.

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

Encuentra la parte entera de \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}} mediante la tabla de \int a\mathrm{d}x=ax de regla integral común.

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

Simplifica.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

Si F\left(x\right) es un antiderivado de f\left(x\right), el conjunto de todos los antiderivados de f\left(x\right) viene dado por F\left(x\right)+C. Por lo tanto, agregue la constante de la integración C\in \mathrm{R} al resultado.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

Diferenciar w.r.t. x

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$