Solucionar x-1/x-2+x-7/x-8=x-3/x-4+x-5/x-6

$$\frac{ x-1 }{ x-2 } + \frac{ x-7 }{ x-8 } = \frac{ x-3 }{ x-4 } + \frac{ x-5 }{ x-6 }$$

Resolver para x

$$x=5$$

Pasos para resolver una ecuación lineal

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores 2,4,6,8 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right), el mínimo común denominador de x-2,x-8,x-4,x-6.

$$\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-8 por x-6 y combinar términos semejantes.

$$\left(x^{2}-14x+48\right)\left(x-4\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{2}-14x+48 por x-4 y combinar términos semejantes.

$$\left(x^{3}-18x^{2}+104x-192\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{3}-18x^{2}+104x-192 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-6 por x-4 y combinar términos semejantes.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x^{2}-10x+24\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{2}-10x+24 por x-2 y combinar términos semejantes.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x^{3}-12x^{2}+44x-48\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{3}-12x^{2}+44x-48 por x-7 y combinar términos semejantes.

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+x^{4}-19x^{3}+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combina x^{4} y x^{4} para obtener 2x^{4}.

$$2x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192-19x^{3}+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combina -19x^{3} y -19x^{3} para obtener -38x^{3}.

$$2x^{4}-38x^{3}+122x^{2}-296x+192+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combina 122x^{2} y 128x^{2} para obtener 250x^{2}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-296x+192-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Combina -296x y -356x para obtener -652x.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+192+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Suma 192 y 336 para obtener 528.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-8 por x-6 y combinar términos semejantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x^{2}-14x+48\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{2}-14x+48 por x-2 y combinar términos semejantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x^{3}-16x^{2}+76x-96\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{3}-16x^{2}+76x-96 por x-3 y combinar términos semejantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-8 por x-4 y combinar términos semejantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x^{2}-12x+32\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{2}-12x+32 por x-2 y combinar términos semejantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x^{3}-14x^{2}+56x-64\right)\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{3}-14x^{2}+56x-64 por x-5 y combinar términos semejantes.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+x^{4}-19x^{3}+126x^{2}-344x+320$$

Combina x^{4} y x^{4} para obtener 2x^{4}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288-19x^{3}+126x^{2}-344x+320$$

Combina -19x^{3} y -19x^{3} para obtener -38x^{3}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+124x^{2}-324x+288+126x^{2}-344x+320$$

Combina 124x^{2} y 126x^{2} para obtener 250x^{2}.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-324x+288-344x+320$$

Combina -324x y -344x para obtener -668x.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-668x+288+320$$

Suma 288 y 320 para obtener 608.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

Resta 2x^{4} en los dos lados.

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528-2x^{4}=-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

Combina 2x^{4} y -2x^{4} para obtener 0.

$$-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

Agrega 38x^{3} a ambos lados.

$$-38x^{3}+250x^{2}-652x+528+38x^{3}=250x^{2}-668x+608$$

Combina -38x^{3} y 38x^{3} para obtener 0.

$$250x^{2}-652x+528=250x^{2}-668x+608$$

Resta 250x^{2} en los dos lados.

$$250x^{2}-652x+528-250x^{2}=-668x+608$$

Combina 250x^{2} y -250x^{2} para obtener 0.

$$-652x+528=-668x+608$$

Agrega 668x a ambos lados.

$$-652x+528+668x=608$$

Combina -652x y 668x para obtener 16x.

$$16x+528=608$$

Resta 528 en los dos lados.

$$16x=608-528$$

Resta 528 de 608 para obtener 80.

$$16x=80$$

Divide los dos lados por 16.

$$x=\frac{80}{16}$$

Divide 80 entre 16 para obtener 5.

$$x=5$$