Solucionar x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Resolver para x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -\frac{1}{2},1 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x-1\right)\left(2x+1\right), el mínimo común denominador de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplica x-1 y x-1 para obtener \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplica 2x+1 y 2x+1 para obtener \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-1 por 2x+1 y combinar términos semejantes.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x^{2}-x-1 por 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combina 4x^{2} y 6x^{2} para obtener 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combina 4x y -3x para obtener x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Resta 3 de 1 para obtener -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Resta 10x^{2} en los dos lados.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combina x^{2} y -10x^{2} para obtener -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Resta x en los dos lados.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combina -2x y -x para obtener -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Agrega 2 a ambos lados.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Suma 1 y 2 para obtener 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -9 por a, -3 por b y 3 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Obtiene el cuadrado de -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplica -4 por -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplica 36 por 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Suma 9 y 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

El opuesto de -3 es 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplica 2 por -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} dónde ± es más. Suma 3 y 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Divide 3+3\sqrt{13} por -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} dónde ± es menos. Resta 3\sqrt{13} de 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Divide 3-3\sqrt{13} por -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -\frac{1}{2},1 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x-1\right)\left(2x+1\right), el mínimo común denominador de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplica x-1 y x-1 para obtener \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multiplica 2x+1 y 2x+1 para obtener \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-1 por 2x+1 y combinar términos semejantes.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x^{2}-x-1 por 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Combina 4x^{2} y 6x^{2} para obtener 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Combina 4x y -3x para obtener x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Resta 3 de 1 para obtener -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Resta 10x^{2} en los dos lados.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Combina x^{2} y -10x^{2} para obtener -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Resta x en los dos lados.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Combina -2x y -x para obtener -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Resta 1 en los dos lados.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Resta 1 de -2 para obtener -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Divide los dos lados por -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Al dividir por -9, se deshace la multiplicación por -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Reduzca la fracción \frac{-3}{-9} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Reduzca la fracción \frac{-3}{-9} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Divida \frac{1}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{1}{6}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{1}{6} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{1}{6}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Suma \frac{1}{3} y \frac{1}{36}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Resta \frac{1}{6} en los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$