Solucionar frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Resolver para b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Pasos para resolver ecuaciones con radicales

Racionaliza el denominador de \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} multiplicando el numerador y el denominador 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Piense en \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Obtiene el cuadrado de 2. Obtiene el cuadrado de \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Resta 5 de 4 para obtener -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Multiplica 2+\sqrt{5} y 2+\sqrt{5} para obtener \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

El cuadrado de \sqrt{5} es 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Suma 4 y 5 para obtener 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Cualquier cosa dividida por -1 da su opuesto. Para calcular el opuesto de 9+4\sqrt{5}, calcule el opuesto de cada término.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Racionaliza el denominador de \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} multiplicando el numerador y el denominador 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Piense en \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Obtiene el cuadrado de 2. Obtiene el cuadrado de \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Resta 5 de 4 para obtener -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Multiplica 2-\sqrt{5} y 2-\sqrt{5} para obtener \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

El cuadrado de \sqrt{5} es 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Suma 4 y 5 para obtener 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Cualquier cosa dividida por -1 da su opuesto. Para calcular el opuesto de 9-4\sqrt{5}, calcule el opuesto de cada término.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Resta 9 de -9 para obtener -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Combina -4\sqrt{5} y 4\sqrt{5} para obtener 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Resta a en los dos lados.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Divide los dos lados por 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Al dividir por 5, se deshace la multiplicación por 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Resolver para a (solución compleja)

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

Resolver para b (solución compleja)

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$arg(\frac{-a-18}{5})<\pi \text{ or }a=-18$$

Resolver para a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$