Solucionar frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Calcular

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Pasos de la solución

Racionaliza el denominador de \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} multiplicando el numerador y el denominador 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Piense en \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Obtiene el cuadrado de 2. Obtiene el cuadrado de \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Resta 3 de 4 para obtener 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Cualquier número dividido por uno da por resultado el mismo número.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Multiplica 2+\sqrt{3} y 2+\sqrt{3} para obtener \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Racionaliza el denominador de \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} multiplicando el numerador y el denominador 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Piense en \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Obtiene el cuadrado de 2. Obtiene el cuadrado de \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Resta 3 de 4 para obtener 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Cualquier número dividido por uno da por resultado el mismo número.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Multiplica 2-\sqrt{3} y 2-\sqrt{3} para obtener \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Suma 4 y 3 para obtener 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Suma 4 y 3 para obtener 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Para calcular el opuesto de 7-4\sqrt{3}, calcule el opuesto de cada término.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

El opuesto de -4\sqrt{3} es 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Resta 7 de 7 para obtener 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Combina 4\sqrt{3} y 4\sqrt{3} para obtener 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$