Solucionar x/x-1=3x+1/x-1

$$\frac { x } { x - 1 } = 3 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

Resolver para x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a 1 ya que la división por cero no está definida. Multiplica los dos lados de la ecuación por x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3x por x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Resta 3x^{2} en los dos lados.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Agrega 3x a ambos lados.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Combina x y 3x para obtener 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Resta 1 en los dos lados.

$$4x-3x^{2}-1=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -3 por a, 4 por b y -1 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica -4 por -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 12 por -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Suma 16 y -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 2 por -3.

$$x=\frac{-4±2}{-6}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-4±2}{-6} dónde ± es más. Suma -4 y 2.

$$x=-\frac{2}{-6}$$

Reduzca la fracción \frac{-2}{-6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-4±2}{-6} dónde ± es menos. Resta 2 de -4.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Divide -6 por -6.

$$x=1$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

La variable x no puede ser igual a 1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a 1 ya que la división por cero no está definida. Multiplica los dos lados de la ecuación por x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3x por x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Resta 3x^{2} en los dos lados.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Agrega 3x a ambos lados.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Combina x y 3x para obtener 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x=1$$

Divide los dos lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Al dividir por -3, se deshace la multiplicación por -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Divide 4 por -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Divide 1 por -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divida -\frac{4}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{2}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{2}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{2}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Suma -\frac{1}{3} y \frac{4}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a los dos lados de la ecuación.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

La variable x no puede ser igual a 1.

$$x=\frac{1}{3}$$