Solucionar x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Resolver para x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Pasos para usar factorizar agrupando

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -1,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 6x\left(x+1\right), el mínimo común denominador de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplica x y x para obtener x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 6x+6 por x+1 y combinar términos semejantes.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combina 6x^{2} y 6x^{2} para obtener 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 13x por x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Resta 13x^{2} en los dos lados.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combina 12x^{2} y -13x^{2} para obtener -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Resta 13x en los dos lados.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combina 12x y -13x para obtener -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx+6. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La solución es el par que proporciona suma -1.

$$a=2 b=-3$$

Vuelva a escribir -x^{2}-x+6 como \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Factoriza x en el primero y 3 en el segundo grupo.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Simplifica el término común -x+2 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x+2=0 y x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -1,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 6x\left(x+1\right), el mínimo común denominador de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplica x y x para obtener x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 6x+6 por x+1 y combinar términos semejantes.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combina 6x^{2} y 6x^{2} para obtener 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 13x por x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Resta 13x^{2} en los dos lados.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combina 12x^{2} y -13x^{2} para obtener -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Resta 13x en los dos lados.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combina 12x y -13x para obtener -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, -1 por b y 6 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 1 y 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

El opuesto de -1 es 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{1±5}{-2} dónde ± es más. Suma 1 y 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divide 6 por -2.

$$x=-3$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{1±5}{-2} dónde ± es menos. Resta 5 de 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divide -4 por -2.

$$x=2$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-3 x=2$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -1,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 6x\left(x+1\right), el mínimo común denominador de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplica x y x para obtener x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 6x+6 por x+1 y combinar términos semejantes.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combina 6x^{2} y 6x^{2} para obtener 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 13x por x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Resta 13x^{2} en los dos lados.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combina 12x^{2} y -13x^{2} para obtener -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Resta 13x en los dos lados.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combina 12x y -13x para obtener -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Resta 6 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$-x^{2}-x=-6$$

Divide los dos lados por -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Al dividir por -1, se deshace la multiplicación por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Divide -1 por -1.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Divide -6 por -1.

$$x^{2}+x=6$$

Divida 1, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{1}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{1}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{1}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Suma 6 y \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Resta \frac{1}{2} en los dos lados de la ecuación.

$$x=2 x=-3$$