Solucionar x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Resolver para x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Pasos con sustitución

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 21, el mínimo común denominador de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Considere la segunda ecuación. Multiplica los dos lados de la ecuación por 14.

$$-x+42y=364$$

Para resolver un par de ecuaciones con sustituciones, primero resuelva una de las ecuaciones para una de las variables. Después, sustituya el resultado de esa variable en la otra ecuación.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Elija una de las ecuaciones y solucione el x mediante el aislamiento de x en el lado izquierdo del signo igual.

$$3x+7y=105$$

Resta 7y en los dos lados de la ecuación.

$$3x=-7y+105$$

Divide los dos lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Sustituye -\frac{7y}{3}+35 por x en la otra ecuación, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Multiplica -1 por -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Suma \frac{7y}{3} y 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Suma 35 a los dos lados de la ecuación.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Divide los dos lados de la ecuación por \frac{133}{3}, que es lo mismo que multiplicar los dos lados por el recíproco de la fracción.

$$y=9$$

Sustituye 9 por y en x=-\frac{7}{3}y+35. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Multiplica -\frac{7}{3} por 9.

$$x=-21+35$$

Suma 35 y -21.

$$x=14$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=14,y=9$$

Pasos con matrices

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 21, el mínimo común denominador de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Considere la segunda ecuación. Multiplica los dos lados de la ecuación por 14.

$$-x+42y=364$$

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplicar por la matriz inversa de la ecuación de \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Para la matriz de 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) y, por lo tanto, la ecuación matricial se puede reescribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=14,y=9$$

Pasos con eliminación

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 21, el mínimo común denominador de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Considere la segunda ecuación. Multiplica los dos lados de la ecuación por 14.

$$-x+42y=364$$

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Para que 3x y -x sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por -1 y todos los términos de cada lado de la segunda por 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Simplifica.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Resta -3x+126y=1092 de -3x-7y=-105. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Suma -3x y 3x. Términos -3x y 3x se anulan y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Suma -7y y -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Suma -105 y -1092.

$$-133y=-1197$$

Divide los dos lados por -133.

$$y=9$$

Sustituye 9 por y en -x+42y=364. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$-x+42\times 9=364$$

Multiplica 42 por 9.

$$-x+378=364$$

Resta 378 en los dos lados de la ecuación.

$$-x=-14$$

Divide los dos lados por -1.

$$x=14$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=14,y=9$$