Solucionar x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Resolver para x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Pasos con sustitución

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 20, el mínimo común denominador de 5,4.

$$4x=5y$$

Divide los dos lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Multiplica \frac{1}{4} por 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Sustituye \frac{5y}{4} por x en la otra ecuación, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Suma -\frac{5y}{4} y y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Multiplica los dos lados por -4.

$$y=12$$

Sustituye 12 por y en x=\frac{5}{4}y. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Multiplica \frac{5}{4} por 12.

$$x=15$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=15,y=12$$

Pasos con matrices

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 20, el mínimo común denominador de 5,4.

$$4x=5y$$

Resta 5y en los dos lados.

$$4x-5y=0$$

Considere la segunda ecuación. Multiplica los dos lados de la ecuación por 3.

$$y=x-3$$

Resta x en los dos lados.

$$y-x=-3$$

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplica la ecuación por la matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Para la matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), por lo que la ecuación de la matriz se puede reescribir como un problema de multiplicación de la matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz x y y.

$$x=15,y=12$$

Pasos con eliminación

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 20, el mínimo común denominador de 5,4.

$$4x=5y$$

Resta 5y en los dos lados.

$$4x-5y=0$$

Considere la segunda ecuación. Multiplica los dos lados de la ecuación por 3.

$$y=x-3$$

Resta x en los dos lados.

$$y-x=-3$$

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Para que 4x y -x sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por -1 y todos los términos de cada lado de la segunda por 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Resta -4x+4y=-12 de -4x+5y=0. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Suma -4x y 4x. Los términos -4x y 4x se anulan entre sí y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$5y-4y=12$$

Suma 5y y -4y.

$$y=12$$

Sustituye 12 por y en -x+y=-3. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para x directamente.

$$-x+12=-3$$

Resta 12 en los dos lados de la ecuación.

$$-x=-15$$

Divide los dos lados por -1.

$$x=15$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$x=15,y=12$$