Solucionar x^2-2/x^2+x-2+3x+2/x^2-4=1-x+2/x^2-3x+2

$$\frac { x ^ { 2 } - 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 3 x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1 - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

Resolver para x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-1$$

Pasos para usar factorizar agrupando

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,1,2 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), el mínimo común denominador de x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Multiplica x+2 y x+2 para obtener \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-2 por x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-1 por 3x+2 y combinar términos semejantes.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combina -2x^{2} y 3x^{2} para obtener x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combina -2x y -x para obtener -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Resta 2 de 4 para obtener 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-2 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{2}-3x+2 por x+2 y combinar términos semejantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+4x+4, calcule el opuesto de cada término.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Combina -x^{2} y -x^{2} para obtener -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Combina -4x y -4x para obtener -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Resta 4 de 4 para obtener 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Resta x^{3} en los dos lados.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Combina x^{3} y -x^{3} para obtener 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Agrega 2x^{2} a ambos lados.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Combina x^{2} y 2x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Agrega 8x a ambos lados.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Combina -3x y 8x para obtener 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3x^{2}+ax+bx+2. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 6.

$$1,6 2,3$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+6=7 2+3=5$$

La solución es el par que proporciona suma 5.

$$a=2 b=3$$

Vuelva a escribir 3x^{2}+5x+2 como \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Simplifica x en 3x^{2}+2x.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Simplifica el término común 3x+2 con la propiedad distributiva.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3x+2=0 y x+1=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,1,2 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), el mínimo común denominador de x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Multiplica x+2 y x+2 para obtener \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-2 por x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-1 por 3x+2 y combinar términos semejantes.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combina -2x^{2} y 3x^{2} para obtener x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combina -2x y -x para obtener -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Resta 2 de 4 para obtener 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-2 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{2}-3x+2 por x+2 y combinar términos semejantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+4x+4, calcule el opuesto de cada término.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Combina -x^{2} y -x^{2} para obtener -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Combina -4x y -4x para obtener -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Resta 4 de 4 para obtener 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Resta x^{3} en los dos lados.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Combina x^{3} y -x^{3} para obtener 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Agrega 2x^{2} a ambos lados.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Combina x^{2} y 2x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Agrega 8x a ambos lados.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Combina -3x y 8x para obtener 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 3 por a, 5 por b y 2 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Suma 25 y -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Toma la raíz cuadrada de 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{-5±1}{6}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-5±1}{6} dónde ± es más. Suma -5 y 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{-4}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-5±1}{6} dónde ± es menos. Resta 1 de -5.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Divide -6 por 6.

$$x=-1$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,1,2 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), el mínimo común denominador de x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Multiplica x+2 y x+2 para obtener \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-2 por x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-1 por 3x+2 y combinar términos semejantes.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combina -2x^{2} y 3x^{2} para obtener x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combina -2x y -x para obtener -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Resta 2 de 4 para obtener 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-2 por x-1 y combinar términos semejantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{2}-3x+2 por x+2 y combinar términos semejantes.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+4x+4, calcule el opuesto de cada término.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Combina -x^{2} y -x^{2} para obtener -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Combina -4x y -4x para obtener -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Resta 4 de 4 para obtener 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Resta x^{3} en los dos lados.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Combina x^{3} y -x^{3} para obtener 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Agrega 2x^{2} a ambos lados.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Combina x^{2} y 2x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Agrega 8x a ambos lados.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Combina -3x y 8x para obtener 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Resta 2 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$5x+3x^{2}=-2$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=-2$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Divida \frac{5}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{5}{6}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{5}{6} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{5}{6}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Suma -\frac{2}{3} y \frac{25}{36}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Resta \frac{5}{6} en los dos lados de la ecuación.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$