Solucionar x^2/2+10/3x+2=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 10 } { 3 } x + 2 = 0$$

Resolver para x

$$x=-6$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Multiplique ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo común denominador de 2,3.

$$3x^{2}+20x+12=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3x^{2}+ax+bx+12. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=20 ab=3\times 12=36$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

La solución es el par que proporciona suma 20.

$$a=2 b=18$$

Vuelva a escribir 3x^{2}+20x+12 como \left(3x^{2}+2x\right)+\left(18x+12\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(18x+12\right)$$

Factoriza x en el primero y 6 en el segundo grupo.

$$x\left(3x+2\right)+6\left(3x+2\right)$$

Simplifica el término común 3x+2 con la propiedad distributiva.

$$\left(3x+2\right)\left(x+6\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3x+2=0 y x+6=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-6$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x+2=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace \frac{1}{2} por a, \frac{10}{3} por b y 2 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{10}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{100}{9}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplica -4 por \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{100}{9}-2\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplica -2 por 2.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{100}{9}-4}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Suma \frac{100}{9} y -4.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{64}{9}}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Toma la raíz cuadrada de \frac{64}{9}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplica 2 por \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{1}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{1} dónde ± es más. Suma -\frac{10}{3} y \frac{8}{3}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x=-\frac{\frac{2}{3}}{1}$$

Divide -\frac{2}{3} por 1.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{1} dónde ± es menos. Resta \frac{8}{3} de -\frac{10}{3}. Para hacerlo, calcula un denominador común y resta los numeradores. Después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x=-\frac{6}{1}$$

Divide -6 por 1.

$$x=-6$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-\frac{2}{3} x=-6$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x+2=0$$

Resta 2 en los dos lados de la ecuación.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x+2-2=-2$$

Al restar 2 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x=-2$$

Multiplica los dos lados por 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x}{\frac{1}{2}}=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Al dividir por \frac{1}{2}, se deshace la multiplicación por \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{10}{3}}{\frac{1}{2}}x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Divide \frac{10}{3} por \frac{1}{2} al multiplicar \frac{10}{3} por el recíproco de \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Divide -2 por \frac{1}{2} al multiplicar -2 por el recíproco de \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=-4$$

Divida \frac{20}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{10}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{10}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}=-4+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{10}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-4+\frac{100}{9}$$

Suma -4 y \frac{100}{9}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{64}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{10}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{10}{3}=-\frac{8}{3}$$

Resta \frac{10}{3} en los dos lados de la ecuación.

$$x=-\frac{2}{3} x=-6$$