Solucionar x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Resolver para x

$$x=3$$

Pasos para usar factorizar agrupando

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -9,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por x\left(x+9\right), el mínimo común denominador de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x+9 y x+9 para obtener \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x y x para obtener x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combina x^{2} y x^{2}\times 16 para obtener 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 8x por x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Resta 8x^{2} en los dos lados.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combina 17x^{2} y -8x^{2} para obtener 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Resta 72x en los dos lados.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combina 18x y -72x para obtener -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Divide los dos lados por 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como x^{2}+ax+bx+9. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

La solución es el par que proporciona suma -6.

$$a=-3 b=-3$$

Vuelva a escribir x^{2}-6x+9 como \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Factoriza x en el primero y -3 en el segundo grupo.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Simplifica el término común x-3 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Reescribe como el cuadrado de un binomio.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-3=0.

$$x=3$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -9,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por x\left(x+9\right), el mínimo común denominador de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x+9 y x+9 para obtener \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x y x para obtener x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combina x^{2} y x^{2}\times 16 para obtener 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 8x por x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Resta 8x^{2} en los dos lados.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combina 17x^{2} y -8x^{2} para obtener 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Resta 72x en los dos lados.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combina 18x y -72x para obtener -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 9 por a, -54 por b y 81 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Obtiene el cuadrado de -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Suma 2916 y -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

El opuesto de -54 es 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Divide 54 por 18.

$$x=3$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -9,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por x\left(x+9\right), el mínimo común denominador de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x+9 y x+9 para obtener \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplica x y x para obtener x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combina x^{2} y x^{2}\times 16 para obtener 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 8x por x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Resta 8x^{2} en los dos lados.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combina 17x^{2} y -8x^{2} para obtener 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Resta 72x en los dos lados.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combina 18x y -72x para obtener -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Resta 81 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Divide los dos lados por 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Al dividir por 9, se deshace la multiplicación por 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Divide -54 por 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Divide -81 por 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Divida -6, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -3. A continuación, agregue el cuadrado de -3 a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -3.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Suma -9 y 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Factor x^{2}-6x+9. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-3=0 x-3=0$$

Suma 3 a los dos lados de la ecuación.

$$x=3 x=3$$

La ecuación ahora está resuelta. Las soluciones son las mismas.

$$x=3$$