Solucionar t^2+3t/2=t+7/4

$$\frac { t ^ { 2 } + 3 t } { 2 } = \frac { t + 7 } { 4 }$$

Resolver para t

$$t = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$t=1$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Multiplique ambos lados de la ecuación por 4, el mínimo común denominador de 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Resta t en los dos lados.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Combina 6t y -t para obtener 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Resta 7 en los dos lados.

$$2t^{2}+5t-7=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 2t^{2}+at+bt-7. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -14.

$$-1,14 -2,7$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

La solución es el par que proporciona suma 5.

$$a=-2 b=7$$

Vuelva a escribir 2t^{2}+5t-7 como \left(2t^{2}-2t\right)+\left(7t-7\right).

$$\left(2t^{2}-2t\right)+\left(7t-7\right)$$

Factoriza 2t en el primero y 7 en el segundo grupo.

$$2t\left(t-1\right)+7\left(t-1\right)$$

Simplifica el término común t-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(t-1\right)\left(2t+7\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva t-1=0 y 2t+7=0.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplique ambos lados de la ecuación por 4, el mínimo común denominador de 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Resta t en los dos lados.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Combina 6t y -t para obtener 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Resta 7 en los dos lados.

$$2t^{2}+5t-7=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 2 por a, 5 por b y -7 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Obtiene el cuadrado de 5.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -7.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Suma 25 y 56.

$$t=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Toma la raíz cuadrada de 81.

$$t=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$t=\frac{-5±9}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{-5±9}{4} dónde ± es más. Suma -5 y 9.

$$t=\frac{4}{4}$$

Divide 4 por 4.

$$t=1$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{-5±9}{4} dónde ± es menos. Resta 9 de -5.

$$t=-\frac{14}{4}$$

Reduzca la fracción \frac{-14}{4} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$t=-\frac{7}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$

Pasos para completar el cuadrado

Multiplique ambos lados de la ecuación por 4, el mínimo común denominador de 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Resta t en los dos lados.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Combina 6t y -t para obtener 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Divide los dos lados por 2.

$$\frac{2t^{2}+5t}{2}=\frac{7}{2}$$

Al dividir por 2, se deshace la multiplicación por 2.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t=\frac{7}{2}$$

Divida \frac{5}{2}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{5}{4}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{5}{4} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{5}{4}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Suma \frac{7}{2} y \frac{25}{16}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Factor t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplifica.

$$t+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} t+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Resta \frac{5}{4} en los dos lados de la ecuación.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$