Solucionar f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Resolver para f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Pasos con sustitución

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 33, el mínimo común denominador de 11,33.

$$3f=g$$

Divide los dos lados por 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Sustituye \frac{g}{3} por f en la otra ecuación, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Suma \frac{g}{3} y g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Divide los dos lados de la ecuación por \frac{4}{3}, que es lo mismo que multiplicar los dos lados por el recíproco de la fracción.

$$g=30$$

Sustituye 30 por g en f=\frac{1}{3}g. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para f directamente.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Multiplica \frac{1}{3} por 30.

$$f=10$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$f=10,g=30$$

Pasos con matrices

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 33, el mínimo común denominador de 11,33.

$$3f=g$$

Resta g en los dos lados.

$$3f-g=0$$

Coloca las ecuaciones en forma estándar y, después, usa las matrices para resolver el sistema de ecuaciones.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Escribe la ecuación en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Izquierda multiplica la ecuación por la matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

El producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Para la matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matriz inversa es \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), por lo que la ecuación de la matriz se puede reescribir como un problema de multiplicación de la matriz.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica las matrices.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Calcula la operación aritmética.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extrae los elementos de la matriz f y g.

$$f=10,g=30$$

Pasos con eliminación

Considere la primera ecuación. Multiplique ambos lados de la ecuación por 33, el mínimo común denominador de 11,33.

$$3f=g$$

Resta g en los dos lados.

$$3f-g=0$$

Para resolver por eliminación, los coeficientes de una de las variables han de coincidir en las dos ecuaciones, de forma que la variable se anule cuando una ecuación se reste de la otra.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Para que 3f y f sean iguales, multiplique todos los términos de cada lado de la primera ecuación por 1 y todos los términos de cada lado de la segunda por 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Simplifica.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Resta 3f+3g=120 de 3f-g=0. Para hacerlo, resta términos semejantes en los dos lados del signo igual.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Suma 3f y -3f. Los términos 3f y -3f se anulan entre sí y dejan una ecuación con una sola variable que se puede resolver.

$$-g-3g=-120$$

Suma -g y -3g.

$$-4g=-120$$

Divide los dos lados por -4.

$$g=30$$

Sustituye 30 por g en f+g=40. Como la ecuación resultante solo contiene una variable, se puede resolver para f directamente.

$$f+30=40$$

Resta 30 en los dos lados de la ecuación.

$$f=10$$

El sistema ya funciona correctamente.

$$f=10,g=30$$