Solucionar 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Resolver para x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Pasos para usar factorizar agrupando

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -15,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 4x\left(x+15\right), el mínimo común denominador de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4x+60 por 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 y 75 para obtener 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 y \frac{1}{4} para obtener 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combina 300x y 15x para obtener 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Resta 315x en los dos lados.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combina 300x y -315x para obtener -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx+4500. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

La solución es el par que proporciona suma -15.

$$a=60 b=-75$$

Vuelva a escribir -x^{2}-15x+4500 como \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Factoriza x en el primero y 75 en el segundo grupo.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Simplifica el término común -x+60 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x+60=0 y x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -15,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 4x\left(x+15\right), el mínimo común denominador de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4x+60 por 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 y 75 para obtener 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 y \frac{1}{4} para obtener 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combina 300x y 15x para obtener 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Resta 315x en los dos lados.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combina 300x y -315x para obtener -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, -15 por b y 4500 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 225 y 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

El opuesto de -15 es 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{15±135}{-2} dónde ± es más. Suma 15 y 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Divide 150 por -2.

$$x=-75$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{15±135}{-2} dónde ± es menos. Resta 135 de 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Divide -120 por -2.

$$x=60$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-75 x=60$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -15,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 4x\left(x+15\right), el mínimo común denominador de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4x+60 por 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 y 75 para obtener 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplica 4 y \frac{1}{4} para obtener 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combina 300x y 15x para obtener 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Resta 315x en los dos lados.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combina 300x y -315x para obtener -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Resta 4500 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Divide los dos lados por -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Al dividir por -1, se deshace la multiplicación por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Divide -15 por -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Divide -4500 por -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Divida 15, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{15}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{15}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{15}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Suma 4500 y \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Factor x^{2}+15x+\frac{225}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Resta \frac{15}{2} en los dos lados de la ecuación.

$$x=60 x=-75$$