Solucionar frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Resolver para k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplique ambos lados de la ecuación por 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, el mínimo común denominador de \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 2 y 2 para obtener 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 6 por k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 2 y 2 para obtener 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Para calcular el opuesto de 9k^{4}-6k^{2}+1, calcule el opuesto de cada término.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combina 6k^{4} y -9k^{4} para obtener -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combina 12k^{2} y 6k^{2} para obtener 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Resta 1 de 6 para obtener 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 2 y 2 para obtener 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 5 por 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Resta 45k^{4} en los dos lados.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Combina -12k^{4} y -45k^{4} para obtener -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Resta 30k^{2} en los dos lados.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Combina 72k^{2} y -30k^{2} para obtener 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Resta 5 en los dos lados.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Resta 5 de 20 para obtener 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Sustituir t por k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya -57 por a, 42 por b y 15 por c en la fórmula cuadrática.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Haga los cálculos.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Resuelva la ecuación t=\frac{-42±72}{-114} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Desde k=t^{2}, las soluciones se obtienen mediante la evaluación de la k=±\sqrt{t} de t positivos.

$$k=1 k=-1$$