Solucionar 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Resolver para x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Pasos para usar factorizar agrupando

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -3,-2 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x+2\right)\left(x+3\right), el mínimo común denominador de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+3 por x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+3x, calcule el opuesto de cada término.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+2 por 2x+1 y combinar términos semejantes.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combina -x^{2} y -2x^{2} para obtener -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Resta 5x en los dos lados.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combina -3x y -5x para obtener -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Resta 2 en los dos lados.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Resta 2 de 30 para obtener 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -3x^{2}+ax+bx+28. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

La solución es el par que proporciona suma -8.

$$a=6 b=-14$$

Vuelva a escribir -3x^{2}-8x+28 como \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Factoriza 3x en el primero y 14 en el segundo grupo.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Simplifica el término común -x+2 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x+2=0 y 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -3,-2 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x+2\right)\left(x+3\right), el mínimo común denominador de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+3 por x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+3x, calcule el opuesto de cada término.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+2 por 2x+1 y combinar términos semejantes.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combina -x^{2} y -2x^{2} para obtener -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Resta 5x en los dos lados.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combina -3x y -5x para obtener -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Resta 2 en los dos lados.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Resta 2 de 30 para obtener 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -3 por a, -8 por b y 28 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Obtiene el cuadrado de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica -4 por -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 12 por 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Suma 64 y 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

El opuesto de -8 es 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 2 por -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{8±20}{-6} dónde ± es más. Suma 8 y 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Reduzca la fracción \frac{28}{-6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{8±20}{-6} dónde ± es menos. Resta 20 de 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Divide -12 por -6.

$$x=2$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -3,-2 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por \left(x+2\right)\left(x+3\right), el mínimo común denominador de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+3 por x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+3x, calcule el opuesto de cada término.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+2 por 2x+1 y combinar términos semejantes.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Resta 2x^{2} en los dos lados.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combina -x^{2} y -2x^{2} para obtener -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Resta 5x en los dos lados.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combina -3x y -5x para obtener -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Resta 30 en los dos lados.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Resta 30 de 2 para obtener -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Divide los dos lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

Al dividir por -3, se deshace la multiplicación por -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Divide -8 por -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Divide -28 por -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Divida \frac{8}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{4}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{4}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{4}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Suma \frac{28}{3} y \frac{16}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Resta \frac{4}{3} en los dos lados de la ecuación.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$