Solucionar frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Resolver para b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Pasos para resolver una ecuación lineal

Racionaliza el denominador de \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} multiplicando el numerador y el denominador 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Piense en \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). La multiplicación se puede transformar en la diferencia de cuadrados mediante la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Obtiene el cuadrado de 2. Obtiene el cuadrado de \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Resta 3 de 4 para obtener 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Cualquier número dividido por uno da por resultado el mismo número.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Multiplica 2+\sqrt{3} y 2+\sqrt{3} para obtener \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

El cuadrado de \sqrt{3} es 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Suma 4 y 3 para obtener 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Resta a en los dos lados.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

La ecuación está en formato estándar.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Divide los dos lados por \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Al dividir por \sqrt{3}, se deshace la multiplicación por \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Divide 4\sqrt{3}-a+7 por \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Resolver para a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$