Solucionar 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Resolver para x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

Pasos para usar factorizar agrupando

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,\frac{1}{3} ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, el mínimo común denominador de 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3x-1 por 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combina 5x y 48x para obtener 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Resta 16 de 10 para obtener -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 5x+10 por 3x-1 y combinar términos semejantes.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Resta 15x^{2} en los dos lados.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Resta 25x en los dos lados.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combina 53x y -25x para obtener 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Agrega 10 a ambos lados.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Suma -6 y 10 para obtener 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -15x^{2}+ax+bx+4. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

La solución es el par que proporciona suma 28.

$$a=30 b=-2$$

Vuelva a escribir -15x^{2}+28x+4 como \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factoriza 15x en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Simplifica el término común -x+2 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x+2=0 y 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,\frac{1}{3} ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, el mínimo común denominador de 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3x-1 por 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combina 5x y 48x para obtener 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Resta 16 de 10 para obtener -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 5x+10 por 3x-1 y combinar términos semejantes.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Resta 15x^{2} en los dos lados.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Resta 25x en los dos lados.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combina 53x y -25x para obtener 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Agrega 10 a ambos lados.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Suma -6 y 10 para obtener 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -15 por a, 28 por b y 4 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplica -4 por -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplica 60 por 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Suma 784 y 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Multiplica 2 por -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-28±32}{-30} dónde ± es más. Suma -28 y 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Reduzca la fracción \frac{4}{-30} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-28±32}{-30} dónde ± es menos. Resta 32 de -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Divide -60 por -30.

$$x=2$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Pasos para completar el cuadrado

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -2,\frac{1}{3} ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, el mínimo común denominador de 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3x-1 por 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combina 5x y 48x para obtener 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Resta 16 de 10 para obtener -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 5 por x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 5x+10 por 3x-1 y combinar términos semejantes.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Resta 15x^{2} en los dos lados.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Resta 25x en los dos lados.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combina 53x y -25x para obtener 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Agrega 6 a ambos lados.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Suma -10 y 6 para obtener -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Divide los dos lados por -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Al dividir por -15, se deshace la multiplicación por -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Divide 28 por -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Divide -4 por -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Divida -\frac{28}{15}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{14}{15}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{14}{15} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{14}{15}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Suma \frac{4}{15} y \frac{196}{225}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Factor x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Suma \frac{14}{15} a los dos lados de la ecuación.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$