Solucionar [2/3(x-3)]^2=16*7-x/2

$$[ \frac { 2 } { 3 } ( x - 3 ) ] ^ { 2 } = 16 \times \frac { 7 - x } { 2 }$$

Resolver para x

$$x=3\sqrt{17}-6\approx 6,369316877$$

$$x=-3\sqrt{17}-6\approx -18,369316877$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar \frac{2}{3} por x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 16 por 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Resta 112 en los dos lados.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8-112=-16x$$

Resta 112 de 8 para obtener -104.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104=-16x$$

Agrega 16x a ambos lados.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104+16x=0$$

Combina -\frac{16}{3}x y 16x para obtener \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x-104=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace \frac{8}{9} por a, \frac{32}{3} por b y -104 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\left(\frac{32}{3}\right)^{2}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{32}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Multiplica -4 por \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-\frac{32}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Multiplica -\frac{32}{9} por -104.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024+3328}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Suma \frac{1024}{9} y \frac{3328}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{4352}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Toma la raíz cuadrada de \frac{4352}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Multiplica 2 por \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}} dónde ± es más. Suma -\frac{32}{3} y \frac{16\sqrt{17}}{3}.

$$x=\frac{16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Divide \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} por \frac{16}{9} al multiplicar \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} por el recíproco de \frac{16}{9}.

$$x=3\sqrt{17}-6$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}} dónde ± es menos. Resta \frac{16\sqrt{17}}{3} de -\frac{32}{3}.

$$x=\frac{-16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Divide \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} por \frac{16}{9} al multiplicar \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} por el recíproco de \frac{16}{9}.

$$x=-3\sqrt{17}-6$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$

Pasos para completar el cuadrado

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar \frac{2}{3} por x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 16 por 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Agrega 16x a ambos lados.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8+16x=112$$

Combina -\frac{16}{3}x y 16x para obtener \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x+8=112$$

Resta 8 en los dos lados.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=112-8$$

Resta 8 de 112 para obtener 104.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=104$$

Divide los dos lados de la ecuación por \frac{8}{9}, que es lo mismo que multiplicar los dos lados por el recíproco de la fracción.

$$\frac{\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x}{\frac{8}{9}}=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Al dividir por \frac{8}{9}, se deshace la multiplicación por \frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{9}}x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Divide \frac{32}{3} por \frac{8}{9} al multiplicar \frac{32}{3} por el recíproco de \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Divide 104 por \frac{8}{9} al multiplicar 104 por el recíproco de \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=117$$

Divida 12, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener 6. A continuación, agregue el cuadrado de 6 a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=117+6^{2}$$

Obtiene el cuadrado de 6.

$$x^{2}+12x+36=117+36$$

Suma 117 y 36.

$$x^{2}+12x+36=153$$

Factor x^{2}+12x+36. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=153$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{153}$$

Simplifica.

$$x+6=3\sqrt{17} x+6=-3\sqrt{17}$$

Resta 6 en los dos lados de la ecuación.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$